जन्मदिन विरोधाभास: साझा जन्मदिन के लिए सिर्फ 23 लोग क्यों काफी हैं

कल्पना कीजिए 23 अजनबियों से भरा एक कमरा। उनमें से दो का जन्मदिन एक ही दिन होने की संभावना कितनी है? ज़्यादातर लोग लगभग 6 प्रतिशत का अंदाज़ा लगाते हैं, क्योंकि 23 साल के 365 दिनों का बहुत छोटा हिस्सा है। असली जवाब 50 प्रतिशत से थोड़ा ज़्यादा है। यही जन्मदिन विरोधाभास है, और यह इस बात का सबसे अच्छा उदाहरण है कि इंसानी सहज बुद्धि संभावना को कितना गलत समझती है।

इसे विरोधाभास क्यों कहते हैं

यह तार्किक अर्थ में विरोधाभास नहीं है, बस एक ऐसा नतीजा है जो गलत लगता है। आम गलती यह सोचना है कि किसी का जन्मदिन आपके दिन पर पड़े, जो एक अलग और बहुत कम संभावना वाली घटना है। जन्मदिन विरोधाभास यह पूछता है कि समूह में कोई भी दो लोग मेल खाते हैं या नहीं, और ऐसा होने के कहीं ज़्यादा तरीके हैं।

जोड़ियां जो फर्क पैदा करती हैं

23 लोगों के समूह में लोगों की 253 अलग-अलग जोड़ियां बनती हैं (23 गुणा 22, फिर 2 से भाग)। हर जोड़ी के मेल खाने की संभावना 365 में 1 होती है, और 253 मौकों के साथ संभावनाएं तेज़ी से जुड़ती जाती हैं। जोड़ियों की संख्या लोगों की संख्या से कहीं तेज़ बढ़ती है, इसीलिए समूह बड़ा होने पर संभावना इतनी तेज़ी से चढ़ती है।

आंकड़े

इसे निकालने का सबसे आसान तरीका यह है कि किसी का भी जन्मदिन साझा न होने की संभावना निकालें और उसे 1 से घटा दें। 23 लोगों के साथ कम से कम एक मेल की संभावना लगभग 50.7 प्रतिशत है। 30 लोगों के साथ यह लगभग 70 प्रतिशत, 50 लोगों के साथ लगभग 97 प्रतिशत, 57 लोगों के साथ लगभग 99 प्रतिशत, और 70 लोगों के साथ लगभग 99.9 प्रतिशत है। ये आंकड़े 365 समान संभावना वाली तारीखें मानते हैं और 29 फरवरी को अनदेखा करते हैं। असली जन्मदिन साल भर में पूरी तरह समान रूप से नहीं फैले होते, जिससे मेल इन आंकड़ों से थोड़े ज़्यादा संभावित हो जाते हैं। मेल की गारंटी केवल 367 लोगों के साथ है, क्योंकि 29 फरवरी जोड़ने पर 366 संभावित जन्मदिन होते हैं।

खुद कैसे निकालें

हर नए व्यक्ति के सभी पिछले जन्मदिनों से बचने की संभावना को गुणा करें: 365/365 × 364/365 × 363/365, और इसी तरह, हर व्यक्ति के लिए एक भिन्न। 23 लोगों के लिए आप 23 भिन्न गुणा करते हैं और लगभग 0.493 पाते हैं, यानी सभी 23 जन्मदिन अलग होने की संभावना। इसे 1 से घटाएं और 0.507 मिलता है, यानी कम से कम एक साझा जन्मदिन की संभावना। कोई भी स्प्रेडशीट इसे सूत्रों के एक कॉलम से कर सकती है।

जो नहीं बदलता

किसी का आपके ही खास जन्मदिन पर होना अब भी कम संभावना है। आपको मिलाकर 23 लोगों के समूह में बाकी 22 में से किसी का आपके जन्मदिन पर होने की संभावना केवल लगभग 6 प्रतिशत है, और इसे 50 प्रतिशत तक पहुंचाने के लिए लगभग 253 और लोग चाहिए। विरोधाभास समूह के भीतर किसी भी मेल के बारे में है, आपके साथ मेल के बारे में नहीं।

खुद आज़माएं

इसे किसी कक्षा, दफ्तर या खेल टीम में परखें: 30 से 40 लोगों के समूहों में साझा जन्मदिन न होने से ज़्यादा बार होता है। आप हमारे जन्मदिन कैलकुलेटर से अपनी जन्म तिथि भी देख सकते हैं, या हमारे जन्मदिन तक कितने दिन कैलकुलेटर से जान सकते हैं कि किसी दोस्त के जन्मदिन में कितने दिन बचे हैं, जो 29 फरवरी के जन्मदिनों को भी सही तरीके से संभालता है।