BirthdayImagina una sala con 23 desconocidos. ¿Qué probabilidad hay de que dos de ellos cumplan años el mismo día? La mayoría calcula alrededor de un 6%, ya que 23 es una fracción diminuta de los 365 días del año. La respuesta real es algo más del 50%. Esta es la paradoja del cumpleaños, y es uno de los mejores ejemplos de lo mal que la intuición humana maneja la probabilidad.
Por qué se llama paradoja
No es una paradoja en sentido lógico, solo un resultado que parece erróneo. El error habitual es pensar en la probabilidad de que alguien cumpla años el mismo día que tú, que es un suceso distinto y mucho menos probable. La paradoja del cumpleaños pregunta si dos personas cualesquiera del grupo coinciden, y hay muchas más formas de que eso ocurra.
Los pares que marcan la diferencia
En un grupo de 23 hay 253 pares distintos de personas (23 por 22, dividido entre 2). Cada par tiene 1 posibilidad entre 365 de coincidir, y con 253 oportunidades las probabilidades se acumulan rápidamente. El número de pares crece mucho más rápido que el de personas, y por eso la probabilidad sube tan deprisa al crecer el grupo.
Los números
La forma más fácil de calcularlo es hallar la probabilidad de que nadie comparta cumpleaños y restarla de 1. Con 23 personas, la probabilidad de al menos una coincidencia es de un 50,7%. Con 30 personas es de un 70%, con 50 personas de un 97%, con 57 personas de un 99% y con 70 personas de un 99,9%. Estas cifras suponen 365 fechas igualmente probables e ignoran el 29 de febrero. Los cumpleaños reales no se reparten de forma perfectamente uniforme durante el año, lo que hace las coincidencias algo más probables de lo que indican estas cifras. Una coincidencia solo está garantizada con 367 personas, porque hay 366 cumpleaños posibles al incluir el 29 de febrero.
Cómo calcularlo tú mismo
Multiplica la probabilidad de que cada nueva persona evite todos los cumpleaños anteriores: 365/365 × 364/365 × 363/365, y así sucesivamente, una fracción por persona. Para 23 personas multiplicas 23 fracciones y obtienes aproximadamente 0,493, la probabilidad de que los 23 cumpleaños sean distintos. Réstalo de 1 y obtienes 0,507, la probabilidad de al menos un cumpleaños compartido. Cualquier hoja de cálculo puede hacerlo con una columna de fórmulas.
Lo que no cambia
La probabilidad de que alguien comparta tu cumpleaños concreto sigue siendo pequeña. En un grupo de 23 personas incluyéndote, la probabilidad de que una de las otras 22 cumpla años el mismo día que tú es de solo un 6%, y necesitas unas 253 personas más para llegar al 50%. La paradoja trata de cualquier coincidencia dentro del grupo, no de una coincidencia contigo.
Compruébalo tú mismo
Pruébalo en una clase, una oficina o un equipo deportivo: en grupos de 30 a 40 personas, un cumpleaños compartido aparece más veces de las que no. También puedes explorar tu fecha de nacimiento con nuestra Calculadora de Cumpleaños, o saber cuántos días faltan para el cumpleaños de un amigo con nuestra calculadora Días Hasta el Cumpleaños, que trata correctamente los cumpleaños del 29 de febrero.