BirthdayStellen Sie sich einen Raum mit 23 Fremden vor. Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben? Die meisten schätzen etwa 6 Prozent, weil 23 nur ein winziger Bruchteil der 365 Tage des Jahres ist. Die richtige Antwort liegt knapp über 50 Prozent. Das ist das Geburtstagsparadoxon, eines der besten Beispiele dafür, wie schlecht die menschliche Intuition mit Wahrscheinlichkeiten umgeht.
Warum es Paradoxon heißt
Es ist kein Paradoxon im logischen Sinn, nur ein Ergebnis, das falsch wirkt. Der übliche Fehler ist, an die Wahrscheinlichkeit zu denken, dass jemand an Ihrem Tag Geburtstag hat, was ein anderes und viel unwahrscheinlicheres Ereignis ist. Das Geburtstagsparadoxon fragt, ob irgendwelche zwei Personen der Gruppe übereinstimmen, und dafür gibt es weit mehr Möglichkeiten.
Die Paare machen den Unterschied
In einer Gruppe von 23 gibt es 253 verschiedene Paare (23 mal 22, geteilt durch 2). Jedes Paar hat eine Chance von 1 zu 365 auf Übereinstimmung, und bei 253 Chancen summieren sich die Wahrscheinlichkeiten schnell. Die Zahl der Paare wächst viel schneller als die Zahl der Personen, weshalb die Wahrscheinlichkeit mit wachsender Gruppe so steil steigt.
Die Zahlen
Am einfachsten berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass niemand denselben Geburtstag hat, und zieht sie von 1 ab. Bei 23 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Übereinstimmung bei etwa 50,7 Prozent. Bei 30 Personen sind es etwa 70 Prozent, bei 50 Personen etwa 97 Prozent, bei 57 Personen etwa 99 Prozent und bei 70 Personen etwa 99,9 Prozent. Diese Werte gehen von 365 gleich wahrscheinlichen Geburtstagen aus und ignorieren den 29. Februar. Echte Geburtstage verteilen sich nicht perfekt gleichmäßig über das Jahr, was Übereinstimmungen etwas wahrscheinlicher macht, als diese Zahlen vermuten lassen. Garantiert ist eine Übereinstimmung erst bei 367 Personen, weil es mit dem 29. Februar 366 mögliche Geburtstage gibt.
So rechnen Sie es selbst
Multiplizieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jede neue Person alle früheren Geburtstage vermeidet: 365/365 × 364/365 × 363/365 und so weiter, ein Bruch pro Person. Bei 23 Personen multiplizieren Sie 23 Brüche und erhalten etwa 0,493, die Wahrscheinlichkeit, dass alle 23 Geburtstage verschieden sind. Ziehen Sie das von 1 ab, erhalten Sie 0,507, die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen gemeinsamen Geburtstag. Jede Tabellenkalkulation schafft das mit einer Spalte voller Formeln.
Was gleich bleibt
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand genau an Ihrem Tag Geburtstag hat, bleibt klein. In einer Gruppe von 23 Personen einschließlich Ihnen liegt die Chance, dass eine der anderen 22 Ihren Geburtstag teilt, nur bei etwa 6 Prozent, und Sie brauchen etwa 253 weitere Personen, bis sie 50 Prozent erreicht. Beim Paradoxon geht es um irgendeine Übereinstimmung in der Gruppe, nicht um eine mit Ihnen.
Probieren Sie es selbst aus
Testen Sie es in einer Schulklasse, einem Büro oder einer Mannschaft: In Gruppen von 30 bis 40 Personen kommt ein gemeinsamer Geburtstag häufiger vor als nicht. Sie können auch Ihr eigenes Geburtsdatum mit unserem Geburtstagsrechner erkunden oder mit unserem Rechner „Tage bis zum Geburtstag“ herausfinden, wie viele Tage bis zum Geburtstag eines Freundes bleiben, der auch Geburtstage am 29. Februar korrekt behandelt.